Cuadrados minimos

Definición

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Teniendo la Transformación lineal , existe la ecuacion cuando (Imagen de una transformación lineal)

Entonces si , no existe solucion, pero si queremos obtener la solucion aproximada, podemos usar el vector mas cercano a que tenga solucion

El problema de cuadrados minimos, consiste en encontrar (si existen) todos los vectores tal que la distancia de a sea minima

Notar que

Como vimos Distancia minima entre vector y subespacio, es el unico vector de que minimiza la distancia a . Entonces los vectores que buscamos son las soluciones del sistema

Como siempre tiene solucion, sera unica cuando sea Monomorfismo

Vista con matrices

Sean y . Entonces son equivalentes:

• es una solucion de cuadrados minimos de la ecuacion , donde no pertenece a la conjunto columna de (ver Subespacios fundamentales de una matriz)
• o, equivalentemente, para todo
• es una solucion de la ecuacion es decir
• es una solucion de la Ecuación normal, es decir

En este caso, si es una solucion de cuadrados minimos, entonces la vamos a escribir como

Donde