Definición
Las descripciones de sistemas a través de ecuaciones diferenciales es muy común en la práctica. Aunque vamos a considerar ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes
En un sistema descripto por ecuaciones diferenciales, la salida está expresada en forma implícita y para obtener la misma es necesario resolver la ecuación diferencial
Se sabe que para obtener la solución a una ecuación diferencial ordinaria a coeficientes contantes es necesario especificar las condiciones iniciales de la misma.
Si bien la intuición diría que un sistema descripto por una ecuación diferencial ordinaria es lineal, lo cierto es que ello dependerá de las condiciones iniciales.
- Para que el sistema lineal entonces por la condición inicial, tenemos que asegurar que para la entrada nula la salida sea la nula (
)
Para nuestros sistemas LTI vamos asumir la condición de reposo inicial: si la entrada es cero para
Las ecuaciones en diferencias
Una ecuación en diferencias es el análogo en tiempo discreto a una ecuación diferencial
Para nuestros sistemas LTI vamos asumir la condición de reposo inicial: si la entrada es cero para
Es interesante escribir la ecuación en diferencias de la siguiente forma
Notar que la ecuación es recursiva, ya que el valor de la salida al instante
Aplicando la transformada de Fourier
Si aplicamos el operador de Fourier
Usando la propiedad de derivación
Para un sistema LTI sabemos que
Entonces obtenemos la transferencia transformada
Aplicando la transformada de Fourier discreta
Si aplicamos el operador de Fourier
Usando la propiedad de diferencia
Para un sistema LTI sabemos que
Entonces obtenemos la transferencia transformada