Teorema de Plancherel

Definición

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Sobre el espacio el operador es biyectivo. Es decir, si (en el sentido cuadrático) entonces (en el sentido cuadrático).

Además para cada existe su transformada de Fourier la cual la es de energia finita. Así mismo para cada señal existe también de energía finita. Además se cumple la relación de Parseval

Consideraciones

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• Se puede interpretar como el calculo del error cuadrático medio, donde

donde es la antitransforamda de Fourier truncada.

Podemos calcular el [[Error absoluto|error]] como $e(t) = x(t) - x_m(t)$ y por lo tanto 

• El operador define una isometría en dicho espaico
• Notar que existe una dualidad interesante entre una señal y su transformada. Sea y . Entonces lo siguiente es cierto

donde es el operador reflexión temporal. Es claro que esto muestra que

• Es posible definir la transformada de Fourier en con exactamente las mismas propiedades que para el caso con