Apuntes de la facultad

Search

SearchSearch

Transformada Discreta de Fourier

Definición

Es un muestreo equispaciado en frecuencia de la transformada de Fourier de una secuencia de tiempo discreto. El gran punto a favor de la DFT es que existen algoritmos computacionalmente muy eficientes para el cálculo de la misma como la FFT

Consideremos una secuencia de longitud . Es decir para y . Sea . Siempre podremos definir la secuencia periódica con periodo

Dado que siempre podremos recuperar a partir de un periodo de . Es decir

Sean , los coeficientes del desarrollo de Fourier de . Esta secuencia es periódica con periodo . Definimos la siguiente secuencia

Recordando que definimos entonces podemos expresar las ecuaciones de síntesis y de análisis

óáóí

Donde la ecuación de síntesis es la IDFT (Inverse Discrete Fourier Transform)

Se puede denotar de forma compacta, dado una cantidad de puntos, como

Notar que tenemos que

Por lo que podemos decir que la DFT es igual a las muestras de la transformada de Fourier de evaluada en los puntos , o sea muestras en el intervalo

Aclaraciones

  • A pesar de estar definidas en un intervalo de para la ecuación de análisis como la de síntesis. Existe una periocidad implícita en ambas definiciones que es necesario tener en cuenta cuando se analicen las propiedades de la DFT, aún sólo estemos interesados en el intervalo
  • Sea y , donde

donde la definición de es

Link to original

Propiedades

Al analizar las propiedades de la DFT debemos considerar la periocidad implícita en la secuencia y en la misma DFT . Veremos que dicha periodicidad influencia fuertemente las propiedades de la DFT

Linealidad

Sea una señal de longitud e una señal de longitud . Consideremos . Es claro que la longitud de será , donde la otra secuencia se completa con usando expansión

Sea entonces e . Es claro que

Desplazamiento circular de una secuencia

Sea una secuencia de longitud y . Entonces

Sobre la izquierda tenemos que lo se denomina un desplazamiento circular

Dualidad

Sea una secuencia de longitud y . Entonces

Simetría conjugada

Sea una secuencia de longitud y . Entonces

Convolución

Sean e unas señales de longitud . Considerando . Si e tenemos que

Donde esta convolución se conoce como la convolución circular de puntos entre e **

Backlinks