Serie de Fourier en tiempo discreto

Definición

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Una señal periódica en tiempo discreto satisface

donde es el periodo. Consideremos las exponenciales discretas con frecuencias fundamentales

Donde tenemos que acordarnos la propiedad

Ambigüedad discreta

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Dos exponenciales son iguales si varía en un múltiplo entero de

ya que

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De esta forma la serie de Fourier en tiempo discreto no es una serie sino una suma finita

donde la notación significa que la suma se extiende por valores consecutivos de

Donde son los Coeficientes de Fourier

Sistemas LTI

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Consideremos el caso de un sistema de discreto continuo cuya respuesta al impulso es . Supongamos que la entrada al mismo es donde . La salida del sistema se puede escribir como

La acción de un sistema LTI sobre una exponencial se puede escribir entonces como

donde es lo que se denomina la transferencia del sistema. Ósea el sistema entrega a la salida la misma señal de entrada pasada por un escalar que depende sólo del sistema y del valor de

Se dice que es un autovalor para los sistemas LTI y que corresponde al autovalor asociado con y el sistema con respuesta al impulso

Por lo tanto, si tomamos , entonces con , por lo tanto se define la transferencia como que es la respuesta en frecuencia del sistema

Que podemos concluir que la acción de un sistema LTI sobre una señal periódica es modificar los coeficientes de Fourier de la señal original mediante una multiplicación por la respuesta en frecuencia evaluada en cada uno de los múltiplos de la armónica fundamental