Transformada Z

Definición

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Se define la transformada Z de de la siguiente forma

En forma compacta podemos denotar la operación de tomar la transformada Z de una señal como

La transformada Z de una señal está definida no sólo por la forma algebraica dada por sino también por su correspondiente ROC. Ambos elementos son igualmente importantes para la definición de la transformada Z

Sabemos que si con la salida de un sistema LTI con respuesta al impulso se puede escribir como

donde

es la transferencia del sistema. Donde podemos ver la relación con la transformada Z

Relación con la transformada de Fourier

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Cuando obtenemos

lo que equivale a escribir

siempre y cuando la transformada de Fourier de la señal exista. Definimos con y

Propiedades

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Analicemos algunas propiedades de la transformada

Linealidad

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Sea y . Tenemos que

con

Desplazamiento en el tiempo y desplazamiento en frecuencia

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Consideremos . Tenemos las siguientes propiedades

donde

con la posible supresión de o el punto en el infinito. También tenemos

donde

Diferenciación

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Consideremos . Tenemos que

donde

Conjugación

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Consideremos . Tenemos que

donde

Reflexión temporal

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Sea . Se puede escribir

donde

Convolución

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Sea y . Tenemos que

donde

Teorema del valor inicial y final

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Sea tal que es cero para . Entonces vale

Además si existe teneos que