Transformada de Fourier

Definición

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Sea la transformación lineal (donde es el conjunto de Lebesgue de orden , y es el Conjunto de Lebesgue de orden ) tal que bien definida donde su transformada de Fourier es continua y verifica el lema de Riemann-Lebesgue

Dada una función seccionalmente continua y absolutamente integrable en , se define como transformada de Fourier de a la función tal que para cada :

Propiedades

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Condiciones de aplicación	Función original	Transformada de Fourier
y
es de clase ,

Donde es la conjunto de Lebesgue de orden 1.

Consideramos la delta de Dirac . Aunque no podemos decir que , podemos definir su transformada de Fourier en un sentido distribucional

Podemos pensar que de alguna forma un impulso unitario tiene contribuciones de todos los armónicos posibles en forma pareja. Además podemos escribir

Vamos a asumir que las señales a considerar son tales que existe su transformada de Fourier

Linealidad

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Sean e funciones, tenemos que

Desplazamiento temporal

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Sea tal que , tenemos que

Conjugación y simetría conjugada

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Sea tal que , tenemos

• Si es real . Esto implica y

  • Si además es par se puede chequear que . Entonces es real y par
  • Si además es impar se puede chequear que . Entonces es imaginaria pura e impar

• Si es imaginaria . Esto implica y

  • Si además es par se puede chequear que . Entonces es imaginaria pura y par
  • Si además es impar se puede chequear que . Entonces es real e impar

Derivación

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Sea tal que , temeos que

Integración

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Sea tal que , tenemos que

Notar que

Convolución

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Sean las funciones y , tenemos que

Donde es la convolución de las dos señales.

Teorema

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Sea de variación acotada sobre cualquier intervalo finito de la recta. Entonces vale

Definición para

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Dada , para cada y cada , la integral

es convergente y dicha fórmula define una función . Además, existe una función tal que . Esta función se define como la transformada de Fourier de en y verifica la identidad de Perseval.

Si además , entonces la transformada de Fourier de en coincide con la transformada de Fourier de en , es decir:

Teorema de Plancherel

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Definición

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Sobre el espacio el operador es biyectivo. Es decir, si (en el sentido cuadrático) entonces (en el sentido cuadrático).

Además para cada existe su transformada de Fourier la cual la es de energia finita. Así mismo para cada señal existe también de energía finita. Además se cumple la relación de Parseval

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