Convolución

Definición

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Sean (donde es conjunto de Lebesgue de orden 1) tales que y son acotadas. Entonces, para cada , la integral es absolutamente convergente. Queda entonces bien definida la función tal que para cada :

Esta función, que se define como la convolución entre y , es Absolutamente integrable y verifica la desigualdad

Suma de convolución

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Sea un sistema LTI de tiempo discreto tal que donde es la delta de Dirac. La respuesta del sistema a cualquier entrada de tiempo discreto se escribe como

esto se conoce como suma de convolución

De esta forma la acción de un sistema LTI en tiempo discreto queda totalmente caracterizada por una única señal: la respuesta al impulso del mismo

Consideraciones

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Como se ve podemos interpretar la suma de convolución mediante un deslizamiento de la secuencia sobre la señal de entrada

Habiendo calculado la salida para un instante podemos calcular desplazando en la secuencia , multiplicando por y sumar

Propiedades

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Sean (donde es conjunto de Lebesgue de orden 1), tres funciones acotadas y una constante compleja. Entonces:

5. , donde es la Transformada de Fourier. Es decir, .