Definición
En la figura se representa
es el mínimo valor de en el es el máximo valor de en el
Estos son los máximos y mínimos absolutos de la función en dicho intervalo
Por otra parte
Teorema
Toda función escalar continua en un Conjunto compacto, produce máximos y mínimos absolutos (en sentido amplio) en dicho conjunto
Este es el único teorema que permite asegurar la existencia en extremos absolutos. Bajo las condiciones del mismo, los extremos absolutos se producirán en un Punto interno o en un Punto frontera
Análisis de existencia de extremos
Definición
Veremos como analizar los máximos y mínimos locales para funciones de una variable
Comencemos observando el grafico, donde en rojo se representa
en un cierto dominio Vemos que:
es máximo local con , recta tangente horizontal en es mínimo local, pero no es derivable en no es extremo local, pero . Recta tangente horizontal en Es decir
no asegura que sea extremo local. Tambien que un extremo local puede ser un punto que no sea derivable, como el caso de Entonces para analizar seguimos los siguientes pasos
Link to original
- Se determinan los punto críticos, estos son los
tales que
no es derivable en es derivable en y . En este caso se denomina punto estacionario - Siendo
un punto critico, el analisis es como sigue
- Debe aplicarse la definición de máximo y mínimo local
- En esta situacion tenemos alternativas
- Se aplica la definicion de extremo local
- Se analizar en un
el signo de la derivada a ambos lados de dicho punto - Si la función admite Derivada parcial de orden superior, suponga que con
la derivada la derivada de menor orden que no se anula es :
- Si
es impar, no es extremo local - Si
es par: cuando es minimo, si es maximo
Analisis de extremos locales para campos escalares
Definición
Veremos como analizar los máximos y mínimos locales para funciones de una variable
Dado
con , el analisis tipico para saber si es extremo local es el siguiente Link to original
- Se determinan los puntos criticos, esto son los punto
tales que:
no es diferenciable en es diferenciable en y . En este caso se denomica punto estacionario - Siendo
un punto critico, el análisis es como sigue
- Debe aplicarse la definición de máximo y mínimo local
- En esta situación tenemos alternativas
- Se aplica la definicion de extremo local
- De cumplirse sus hipotesis, se puede aplicar el
Teorema para determinar extremo locales
Definición
Sea
con , tal que y . Sea el Determinante Hessiano de en Habiendo calculado todos estos determinantes, se puede afirmar lo siguiente
Link to original
- Si
, se dan tres posibles situaciones
signos alternados hasta : es máximo local : es mínimo local - Otra situaciones:
no es extremo local - Si
, este teorema no permite determinar si es o no es extremo local
Analisis de extremos absolutos
Definición
Cuando una funcion es continua en un Conjunto compacto
, produce maximos y minimos absolutos en dicho conjunto En esta situacion, la estrategia para hallarlos es la siguiente
Link to original
- Se Analisis de extremos locales para campos escalares o Analisis de extremos locales para funciones de una variable en el interior de
- Se determinan el maximo y minimo valor de la funcion en la frontera de
- Comparando los valores extremos que se producen en el interior y en la frontera, el mayor de todos es el maximo absoluto y el menor el minimo absoluto