Diferenciable

Definición

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Dado una funcion es diferenciable en si existe una constante tal que

donde

En efecto, escribiendo explicitamente la constante de la ultima definicion, tenemos

de donde (al tomar limite cuando ) se puede ver facilmente la equivalencia entre las definiciones

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Teoremas

Informativas

• Si es diferenciable en el punto , entonces es continua en
• Si es diferenciable en el punto , entonces es derivable en
• Si es diferenciable en , entonces existen todas las derivadas direccionales (calcular con la definicion de Derivada direccional) y vale que

Calificativas

• Una funcion vectorial es diferenciable en un punto si, y solo si, sus componentes son diferenciables en dicho punto
• Sea con , si entonces es diferenciable en
• (la Jacobiana de ) continua en un conjunto es equivalente a ⇒ diferenciable en
• Es diferenciable si existen todas las Derivada direccional y son lineales

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Notas

• Las funciones diferenciables son continuas y derivables
  • Solo las funciones de una sola variable, si son derivables tambien son diferenciables
  • Las de varias variables, aun siendo continuas y derivables, pueden no ser diferenciables
• Las funciones de varias variables que tienen derivadas parciales de 1er orden continuas en el entorno de un punto, son diferenciables en dicho punto

Consecuencias

Cuando es diferenciable en , la transformacion lineal, y especificamente la matriz asociada a esta, se llama Jacobiana