La definición dada arriba de la transformada de Fourier tiene sentido siempre y cuando esté bien definida. Es decir la serie debe existir para todo y ser finita. Esto por ejemplo se cumple si
La transformada de Fourier se debe interpretar como un operador que mapea señales en un determinado espacio vectorial y entrega señales en otro espacio vectorial donde podamos obtener caracterizaciones útiles de la señal original.
Notar que definimos la transformada para . Esto es así por que en caso discreto la transformada de Fourier es claramente una función periódica por lo que podemos restringir el análisis de a dicho intervalo. Esto se puede probar con las propiedades de una exponencial discreta
Teorema
Sobre el espacio el operador es biyectiva, usando un sentido cuadrático en . Además para cada existe su transformada de Fourier la cual es de energía finita. Así mismo para cada señal existe también de energía finita. Además se cumple la relación de Parseval
Relación con la serie de Fourier
Veamos que es una función periódica con periodo . Como tal se pueden calcular sus coeficientes de Fourier