Funciones implicitas

Definición

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Considere la función . Sea un punto tal que

Supongamos que la función tiene derivadas parciales continuas en alguna disco abierto con centro en y que

Entonces se puede resolver para en términos de y definir así una función con dominio en una vecindad de , tal que , la cual tiene derivadas continuas que pueden calcularse como

Visualmente, esto se vería como

En este caso, se aplica el Teorema Cauchy-Dini para ecuaciones escalares

Aplicaciones

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Definición

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Dada la ecuacion escalar y el punto , si se cumple el Teorema Cauchy-Dini para ecuaciones escalares, con la condicion adicional de que

Entonces la ecuacion define una curva que contiene al punto y admite recta tangente en dicho punto

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Definición

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Dada la ecuacion escalar y el pnto si se cumple el Teorema Cauchy-Dini para ecuaciones escalares, con la condicion que

Entonces la ecuacion define una Superficie que contiene al punto y admite Plano tangente y Recta normal a una superficie en dicho punto

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Definición

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Esto siendo un caso especifico de Multiples funciones implicitas y Superficie dada en forma implicita

Dadas las superficies de ecuacion y de ecuacion , y el punto , cuando se cumple las condiciones del Teorema Cauchy-Dini para sistema de ecuaciones escalares, con la dondicion que

El sistema define una Curva en un (Entorno), como interseccion de y

Dicha curva admite recta tangente en , dirigida por el vector , y Plano normal a una curva en dicho punto

Donde la recta tangente es: con \

Donde el plano normal es:

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