Multiples funciones implicitas

Definición

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Seguimos expandiendo de la idea Funciones implicitas generalizada

Ahora tendremos un sistema de ecuaciones de funciones implicitas, donde cada una podremos escribirla como

Donde existe un tal que

Donde es continuo en un entorno alrededor de para

Por ultimo, donde

donde se resuelve de la siguiente forma

Donde vamos a poder encontrar la derivada parcial de la siguiente forma

Para aclarar, el numerador se calcula de la siguiente forma

Aca se aplica el Teorema Cauchy-Dini para sistema de ecuaciones escalares

Explicacion de la resolucion

Esto ultimo, se calcula usando el determiante de la Jacobiana, y para verlo, vamos a usar un ejemplo

Teniendo el sistema

Como tenemos las funciones y vamos a derivarlas con respecto de (despues lo haremos con respecto a ) entonces se tiene que aplicar la Regla de la cadena

Que podemos reescribir como

Y usando la Regla de Cramer, podemos encontrar que la y son