Limites de funciones de varias variables

Definición

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El concepto de limite Función es el mismo que para funciones de una variable, por lo menos en esencia

Pero volveremos a plantear el concepto de cercania, para que se adapte a funciones de varias variables

Herramientas

• La herramienta mas basica que usaremos es Disco abierto, que es

  Definición

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  Dados un complejo y un numero real positivo , se definen los siguientes subconjuntos del plano complejo

  Disco abierto de centro y radio .

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• Tambien vamos a definir que determinamos como un Conjunto abierto

  Definición

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  Dado un conjunto , es abierto sii es vacio o bien todos sus puntos son Punto interno.

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Definicion

Sea , con siendo un Conjunto abierto, y un punto de o bien un Punto frontera de

si dado cualquier existe un tal que

Formas de resolver limites

• Limites iterados

  Definición

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  Dada una funcion , si existe , y existen tambien los limites de una variable y , entonces existen y son iguales los limites iterados

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• Aproximaciones por curvas

  Definición

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  El limite existe y es si los limites

  existen (donde son curvas que pasan por ), deben valer

  Ejemplo

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  Supongamos que tenemos el siguiente Límite

  Como vemos en el punto no esta definida, entonces si hacemos Limites iterados, seria

  Pero tambien podemos plantear como , entonces

  Entonces podemos concluir que no existe el limite

  Tambien podriamos plantear el caso mas generico , y tambien

  Consecuencias

  • Que existe el limite con aproximaciones por curvas, no significa que exista el limite, es decir, es condicion necesaria pero no suficiente
  • Si existe resultados diferentes para curvas diferentes, entonces no existe el limite

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Operaciones

Tomando que dos funciones definidas en el abierto de y sea un punto de o un Punto frontera de . Suponiendo que

Es decir que la suma de los limites es la suma de los limites individuales

Transclude of Suma-de-limites#definicion

Transclude of Producto-de-limites#definicion

Definición

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Sean dos funciones definidas en el abierto de y sea un punto de o un Punto frontera de . Suponiendo que

Entonces, el producto esta definida como

Es decir que el producto de los limites es el producto de los limites individuales

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