Desigualdad de Bessel

Definición

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Sabemos que la suma de Fourier esta definida como

Donde definimos

Podemos hacer tender para obtener

Esto es lo que se denomina la desigualdad de Bessel

Desarrollo

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Considerando una señal de energía finita , con producto interno

y base ortonormal dada por

Vamos a tomar la siguiente aproximación de

Ahora considerando la distancia entre y

Que podemos reescribirlo como

Por lo que podemos analizar término a término

Donde sabemos que

Por lo que se simplifica a

Por último

notemos que por lo tanto nos queda

Como encontramos la desigualdad, donde si esta desigualdad pasa a ser una igualdad, es decir

se la conoce como la igualdad de Perseval