Definición
Una sucesión de números complejos es una función
Notacion:
*
Caracterización
Dada una sucesión
- Con
:
Si
-
Con
: es creciente sii es estrictamente creciente sii es decreciente sii es estrictamente decreciente sii
-
Con
Definición
Una subsucesión de
Link to originales una composicion donde la sucesión es estrictamente. Se trata de una Sucesión en cuyos valores se indican -
Con
Definicion
La serie de término general
es la serie es decir, la Sucesión
tal que para cada en Estas sumas se denominan sumas parciales de la serie y la misma se indica tradicionalmente
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Operación entre sucesiones
Definición
Dadas dos sucesiones
, en y dados dos constantes y , quedan bien definidas las sucesiones
: Link to original
Teoremas de completitud y de continuidad secuencial
Teorema 1 (
)
Toda Sucesión de números reales
creciente y acotada superiormente es convergente. Teorema 2 (
)
Toda Sucesión de Cauchy en
es convergente (en ) Teorema 3 (
)
Dados
, una función , y un punto un Punto de acumulación, entonces Link to original
Convergencia
Consecuencias
- Si una Sucesión converge a un limite, este limite es único.
- Toda Sucesión convergente es una Sucesión de Cauchy
- Si una Sucesión es convergente, toda Subsucesión de la misma converge al mismo limite que la sucesión
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Toda Sucesión constante converge a dicha constante. Por lo tanto, de la propiedad anterior se deduce que toda Sucesión
en para la cual existe una constante real y un número natural tales que , converge a la constante . (Para
) Si , entonces para todo tal que existe tal que para todo . Analogamente cuando Dada una Sucesión
: (muchas de estas relacionadas a operaciones de Límites)
(Para
) (Lema del Sándwich o del Arriero): Dadas tres Sucesiónes , y , en tales que:
Entonces, (Aritmetica de limites) Dados dos Sucesiónes
y , convergentes en , y dos constantes reales , :
, entonces Si la Serie
converge entonces (No vale reciproca) Por el Teorema 1 mathbb K mathbb R se llega que
mientras que y para todo natural . Para todo número real o complejo
tal que entonces
Criterios de convergencia
Criterio de Chauchy
Definición
Link to originalCriterio de convergencia absoluta
Definición
Dada la Serie
Link to originalconverge, entonces converge. No vale la reciproca Criterio de Dirichlet-Abel
Definición
Link to originalCriterios para series de términos reales positivos
Criterio de acotación
Definición
Dadas las hipotesis
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Entonces converge. Criterio de la mayorante
Definición
Dadas las hipotesis
converge Entonces
Link to originalconverge. Criterio del cociente
Definición
Dadas las hipotesis
Entonces
Link to originalconverge. Criterio de la raiz
Definición
Dadas las hipotesis
Entonces
Link to originalconverge. Criterio de la integral
Definición
Dadas las hipotesis
es Integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en su dominio (esto ocurre, en particular, si es una Función continua o seccionalmente continua) es positiva y decreciente (es decir: para todo par de puntos se verifica que ) - Existe y es finito el Límite
Entonces
Link to originalconverge. Criterio de Leibniz para series alternadas
Definición
Dadas las hipotesis
Entonces
Link to originalconverge Primer criterio de Dirichlet-Abel
Definición
Dadas las hipotesis
Entonces
Link to originalconverge. Segundo criterio de Dirichlet-Abel
Link to originalDefinición
Dadas las hipotesis
converge Entonces
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